Właściwości materiałowe miedzi: gęstość i rezystywność

Gęstość i rezystywność należą do ogólnych właściwości materiału – ich wartości nie zależą od rozmiarów lub kształtu konkretnej próbki, lecz wyłącznie od materiału jako takiego.

Gdy mówimy, że miedź jest cięższa od aluminium, porównujemy gęstości tych metali. Podobnie, gdy mówimy, że miedź jest lepszym przewodnikiem elektryczności niż aluminium, porównujemy ich rezystywność (opór właściwy).

Celem tego e-podręcznika jest obliczenie gęstości i rezystywności materiałów przy użyciu podobnych metod matematycznych.

Gęstość

Dwie bryły na rysunku poniżej są tej samej wielkości, ale miedziana ma większą masę niż aluminiowa, ponieważ miedź ma większą gęstość niż aluminium. Gęstość to masa na jednostkę objętości danej substancji.

Naukowcy lubią literę ρ (rho). Jest używana do oznaczania gęstości, rezystywności i wielu innych naukowych pojęć. Jest zawsze zapisywana małą literą, gdyż jako duża litera jest identyczna z literą P alfabetu łacińskiego.

Wyrażając to postaci proporcji
Wiemy, że im większa jest objętość sześcianu tym większa jest jego masa. Matematycznie można to zapisać jako:

m ∝ V (masa jest proporcjonalna do objętości)

Aby wyznaczyć dokładną masę z objętości trzeba znać gęstość ρ (grecka litera rho) i podstawić ją w tym wyrażeniu. Gęstość jest masą 1 m3 danego materiału, wyrażoną w kilogramach.

Dla miedzi ρ = 8940 (kg m-3), dla aluminium ρ = 2700 (kg m-3).
Aluminium ma gęstość mniejszą niż jedna trzecia gęstości miedzi (dzięki czemu jest dobrym materiałem do budowy samolotów).

Teraz możemy przekształcić proporcję w równanie:

m = ρ V

Gęstość ρ zależy od tego, z jakiego materiału wykonany jest sześcian. ρ jest współczynnikiem proporcjonalności, który zmienia znak proporcjonalności ∝ w znak równości =

Przekształcając równanie otrzymujemy:

ρ = m / V

Oznacza to, że jednostką gęstości jest kg/m3 (lub kg m-3).

Rezystywność

Przy obliczaniu rezystywności posługujemy się taką samą metodą matematyczną.

Zrozumienie tej części wymaga poznania prawa Ohma:

R = U/I (rezystancja = napięcie podzielone przez prąd).

Eksperyment myślowy z przewodem miedzianym i aluminiowym

Jeżeli przewód o długości L i przekroju A (u góry rysunku) posiada rezystancję R, to odnośnie dwóch kolejnych przewodów możemy stwierdzić, że:

Drugi przewód, o długości 2L będzie miał dwukrotną rezystancję 2R, taką samą, jak przy szeregowym połączeniu dwóch przewodów pokazanych u góry rysunku.

Zatem:
R L (rezystancja jest proporcjonalna do długości).

Trzeci przewód ma długość L, ale jego przekrój jest dwukrotnie większy i wynosi 2A. Jest to równoznaczne z równoległym połączeniem dwóch przewodów pokazanych u góry rysunku. Rezystancja będzie równa R/2.

Zatem:
R 1/A (rezystancja jest odwrotnie proporcjonalna do pola przekroju).

Łącząc obydwie proporcjonalności otrzymujemy:
R L/A

Te same działania matematyczne stosują się do aluminium, lub dowolnego innego przewodnika, ale jeżeli chcemy obliczyć faktyczną rezystancję, to musimy wiedzieć w jakim stopniu dany materiał przeciwstawia się przepływowi prądu elektrycznego. Rezystywność jest miarą trudności jaką prąd elektryczny napotyka przepływając przez dany materiał. Miedź jest bardzo dobrym przewodnikiem elektryczności, posiada więc MAŁĄ rezystywność.

Dodając człon rezystywności otrzymujemy:
R = ρ (L / A)

gdzie ρ jest współczynnikiem proporcjonalności, zatem proporcjonalność  ∝  staje się teraz równością =

Przekształcając otrzymujemy:
ρ = R (A / L) 

Wynika stąd, że jednostką rezystywności jest Ω • m (omometr). Ale bez paniki! Nie musisz rozumieć tej jednostki. Przyjmując, że dla wyrażenia rezystywności używasz jednostkę omometr, jako jednostkę długości metr i jako jednostkę powierzchni metr2, z równania na rezystancję otrzymasz wynik w omach.

Odwrotność rezystywności
Rezystywność jest miarą tego, jak złym przewodnikiem jest dany materiał. Jeżeli spojrzysz na tabelę, to zobaczysz, że materiały o wysokiej rezystywności są izolatorami. Przeciwieństwem rezystywności jest przewodność. Jest oznaczana literą sigma i jest odwrotnością rezystywności.

Przewodność elektryczna σ = 1/ρ

Pytania i działania

1. Jeżeli masz dwie identyczne patelnie, jedną wykonaną z miedzi a drugą z aluminium, to ile razy cięższa będzie miedziana patelnia?

2. Porównaj rezystywności srebra i chromonikieliny. Ile razy lepiej srebro przewodzi prąd elektryczny od chromonikieliny?

3. Oblicz rezystancję miedzianego kabla o średnicy 50 mm i długości 30 km.

4. Jeżeli masz zastąpić kabel z pytania 3 kablem aluminiowym, jaka powinna być jego średnica, aby miał taką samą rezystancję?

5. Jednostką przewodności jest simens m-1. Dowiedz się kto to był Siemens i gdzie dzisiaj możesz znaleźć jego nazwisko.

Odpowiedzi

1. Jeżeli masz dwie identyczne patelnie, jedną wykonaną z miedzi a drugą z aluminium, to ile razy cięższa będzie miedziana patelnia?
Po prostu wykorzystaj stosunek gęstości; 8940/2700 = 3,31 razy cięższa.

2. Porównaj rezystywności srebra i chromonikieliny. Ile razy lepiej srebro przewodzi prąd elektryczny od chromonikieliny?
Stosunek rezystywności wynosi 1,6 x 10-6 / 1,6 x 10-8 = 100

3. Oblicz rezystancję miedzianego kabla o średnicy 50 mm i długości 30 km.
R = ρ ( L /A)
= (1,7 x 10-8 x 30 x 103)/ (3,14 x 25 x 25 x 10-6)
= 0,26 Ohms

4. Jeżeli masz zastąpić kabel z pytania 3 kablem aluminiowym, jaka powinna być jego średnica, aby miał taką samą rezystancję?

RAl = RCu
Al x L) / (π x rAl2) = (ρCu x L)/( π x rCu2)

Redukując π i L otrzymujemy:
2,7 x 10-8 / rAl2 = 1,7 x 10-8/ rCu2
rAl2 = (2,7 x 10-8) / (1,7 x 10-8)  x rCu2
rAl = √ (2,7 x 10-8) / (1.7 x 10-8)  x rCu
rAl = √(2,7/1,7) x rCu  = 31,5 mm

Wymagana średnica kabla aluminiowego wyniesie: 2 x rAl = 63 mm

5. Jednostką przewodności jest simens m-1. Dowiedz się kto to był Siemens i gdzie dzisiaj możesz znaleźć jego nazwisko.
Werner von Siemens. Założył przedsiębiorstwo, które obecnie jest jedną z największych wielonarodowych firm technicznych na świecie.